Question

已知函数f（x），x∈R．

（1）若f（x）是偶函数，求实数a的值；

（2）当a＞0时，不等式f（sinxcosx）﹣f（4+t）≥0对任意的x∈恒成立，求实数t的取值范围；

（3）当a＞0时，关于x的方程在区间[1，2]上恰有两个不同的实数解，求实数a的取值范围．

Answer

（1）a；（2）（]；（3）（，log4]

【解析】

（1）根据f（x）是偶函数，有f（﹣x）＝f（x），得log2（2﹣x+1）+a（﹣x）＝log2（2x+1）+ax化简求解.

（2）由a＞0，结合对数函数和一次函数的单调性，得到函数f（x）＝log2（2x+1）+ax是增函数，然后利用单调性的定义，将不等式f（sinxcosx）﹣f（4+t）≥0，转化为sinxcosx≥4+t，对任意的x∈恒成立，利用三角函数的性质求解.

（3）根据题意，有 f（0）＝1，将方程f[f（x）﹣a（1+x）﹣1og4（2x﹣1）]＝1，转化为f[f（x）﹣a（1+x）﹣1og4（2x﹣1）]＝f（0）．再利用函数的单调性，转化为变形为：1og4a，通过函数g（x）的图象与y＝a有2个交点求解.

（1）根据题意，若f（x）是偶函数，则f（﹣x）＝f（x），

则有log2（2﹣x+1）+a（﹣x）＝log2（2x+1）+ax，变形可得2ax＝log2（2﹣x+1）﹣log2（2x+1）＝﹣x，

解得a；

（2）当a＞0时，函数y＝log2（2x+1）和函数y＝ax都是增函数，则函数f（x）＝log2（2x+1）+ax为增函数，

∵不等式f（sinxcosx）﹣f（4+t）≥0，所以f（）≥f（4+t）对任意的x∈恒成立

∴sinxcosx≥4+t，对任意的x∈恒成立；

∴t≤2sin（x）﹣4对任意的x∈恒成立；

∴t≤（2sin（x）﹣4）min，x∈；

由x∈，得x∈[]，

∴当x时，sin（x）﹣4的最小值为4；

∴t；故t的取值范围为（]．

（3）根据题意，函数f（x）＝log2（2x+1）+ax，有f（0）＝1，

则f[f（x）﹣a（1+x）﹣1og4（2x﹣1）]＝1即f[f（x）﹣a（1+x）﹣1og4（2x﹣1）]＝f（0）．

又由当a＞0时，函数f（x）＝log2（2x+1）+ax为增函数，

则有f（x）﹣a（1+x）﹣1og4（2x﹣1）＝0，

即log2（2x+1）﹣1og4（2x﹣1）＝a，

变形可得：1og4a，设g（x）＝1og4，

若方程f[f（x）﹣a（1+x）﹣1og4（2x﹣1）]＝1在区间[1，2]上恰有两个不同的实数解，则函数g（x）的图象与y＝a有2个交点，

对于g（x）＝1og4，设h（x），则h（x）（2x﹣1）4．

又由1≤x≤2，则1≤2x﹣1≤3，则h（x）min＝8，h（1）＝9，h（2），则h（x）max＝9，

若函数g（x）的图象与y＝a有2个交点，

必有log48a≤log4，

故a的取值范围为（，log4]．