Question

已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线交双曲线于，两点，线段的垂直平分线恰过点，则该双曲线的离心率为（    ）

A. B. C. D.

Answer

D

【解析】

利用双曲线的定义，分别将AF1，BF1表示出来，再利用直线的斜率及倾斜角的关系，将所有边长用a,c来表示，最后利用直角三角形的关系，列出a,c的方程，再求离心率。

连接AF2,BF2,记A,B中点为N，根据题意知：AF2=BF2,所以设AF2=BF2=m,并且NF2垂直AB,由于过点F1的直线斜率为，设直线的倾斜角为，所以在直角三角形F1F2N中，，根据双曲线的定义：AF1-AF2=2a,所以：AF1=2a+m,同理：BF1=m-2a;由AB=AF1-BF1,所以AB=4a,则AN=BN=2a,

故：BF1=NF1-BN=-2a因此：m= ;在直角三角形ANF2中，

，从而解得离心率 ：

故选：D