Question

设，其中.若对一切恒成立，则①；②；③既不是奇函数也不是偶函数；④的单调递增区间是；⑤存在经过点的直线与函数的图像不相交.以上结论正确的是________________.（写出所有正确结论的序号）

Answer

①③

【解析】

对于命题①，由对一切恒成立知，直线是图像的对称轴.又函数的周期为，即故①正确；

对于命题②，因为和与对称轴的距离相等，即，故②不正确.

对于命题③，因为直线是函数图像的对称轴，易得，

即或.即即不是奇函数也是不偶函数，故③正确.

对于命题④，由上知的解析式不确定，即单调递增区间不确定，故④不正确.

对于命题⑤，因为（其中），

可得，且，即过点的直线必与函数的图像相交，故⑤不正确.

【解析】
由对一切恒成立知，直线是图像的对称轴.又∵（其中）的周期为，∴可看作的值加了个周期，∴.故①正确.

∵，∴和与对称轴的距离相等.

∴，故②不正确.

∵直线是函数图像的对称轴，∴，

∴.

∴或，∴.∴或.

∴即不是奇函数也是不偶函数，故③正确.

由上知的单调递增区间为，

的单调递增区间为.∵的解析式不确定，∴单调递增区间不确定，故④不正确.

∵（其中），

∴.又∵，∴.

∴，且，

∴过点的直线必与函数的图像相交，故⑤不正确.

故答案为①③.