Question

已知为坐标原点，是抛物线：的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过，，三点的圆的圆心为.

（1）是否存在过点，斜率为的直线，使得抛物线上存在两点关于直线对称？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由；

（2）是否存在点，使得直线与抛物线相切于点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

Answer

（1）不存在，理由见解析；（2）存在，

【解析】

(1)． 先假设存在，设直线的方程为，若A,B两点关于直线对称，则直线的方程为，联立直线AB与抛物线方程，求A，B两点的中点N，再将N带入直线l中，在判断是否能求出k的范围；

(2)． 将抛物线化为二次函数形：，利用导数的几何意义，求得切线MQ，结合Q点的宗坐标值，求得Q的横坐标；最后根据，列出关于关于M点横坐标x的方程，并求解即可。

（1）假设存在，设直线的方程为，关于直线对称的两点，，由题意知，所以直线的方程为，

联立消可得：，

（※），

所以，，

所以，中点，由题意在直线上，

所以，即，

代入（※）式可得：，即，无实数解，故不存在符合题意的直线.

（2）点，又，设，

变形为，所以，

因为直线为抛物线的切线，故，

解得，即，

又取中点，由垂径定理知，

所以可得：，

解得，所以存在符合题意