Question

设函数.

（1）证明：函数在单调递增；

（2）当时，恒成立，求整数的最小值.

Answer

（1）见解析；（2）2

【解析】

（1）. 先确定导函数的定义域，再求导，从而来分析函数的单调性；(2)解决函数不等式恒成立问题，先求的函数f(x)在x>0上的最大值，在分析a取得最小值

（1）因为，记，所以，

当时，恒成立，所以，在单调递增，

所以，，所以当时，恒成立，

所以，函数在单调递增

（2）由（1）知，，令解得，

当时，，即单调递减；

当时，，即单调递增；

又，，所以在上存在唯一，

满足，即.

当时，，即单调递增；

当时，，即单调递减；

所以，当时，，

因为，可得

所以，，由，可得.

因为恒成立，且，所以整数的最小值为