Question

如图，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，棱长为2，M，N分别为A₁B，AC的中点．

（1）证明：MN//B₁C；

（2）求A₁B与平面A₁B₁CD所成角的大小．

Answer

（1）见解析；

（2）与平面所成角为．

【解析】

（1）以为原点建立空间直角坐标系，通过坐标运算求得，由此证得.

（2）利用直线的方向向量和平面的法向量，求得线面角的正弦值，由此求得线面角的大小.

（1）如图，以点D为坐标原点，DA为x轴， DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系．

则，，， ，，．

∴ ， ．

∴ ，∴ ，

即 ．

（2）易得，， ∴ ，．

设平面ADE的一个法向量为，

则 即

令，则，所以．

设A1B与平面A1 B1CD所成角为θ ，

则．

∴ A1B与平面A1 B1CD所成角为30°．