Question

已知椭圆C: 的右焦点为，离心率．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在定点M ，使得恒成立？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；

（2）x轴上存在点，使得恒成立，理由见解析.

【解析】

（1）根据焦点坐标、离心率结合列式，求得的值，从而求得椭圆的标准方程.

（2）假设轴上存在，使.当直线斜率为时，求得两点的坐标，利用列方程，解方程求得的值.当直线斜率不存在时，求得两点的坐标，利用列方程，解方程求得的值.由此判断，由此求得点坐标，再证当直线斜率存在时，即可.当直线斜率存在时，设出直线的方程，联立直线方程和椭圆方程，写出韦达定理，计算得，由此求得符合题意的点的坐标.

（1）∵ ，， ∴，

∴ ．

∴ 椭圆方程为．

（2）假设x轴上存在点M(m,0),使得,

①当直线l的斜率为0时, ,,

则, 解得 ．

②当直线l的斜率不存在时, ,,

则,

解得 ,．

由①②可得．

下面证明时, 恒成立.

直线l斜率存在时,设直线方程为.

由 消y整理得: ,

,,

.

.

综上,轴上存在点，使得恒成立.