Question

已知中心在原点，焦点在轴上，离心率为的椭圆过点

（1）求椭圆的方程；

（2）设不过原点的直线与该椭圆交于两点，满足直线的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题（1）先设出椭圆方程为，再根据条件离心率为及椭圆上的点，代入即可得到椭圆方程；（2）先设出直线方程及，然后联立椭圆方程得到及．再由直线的斜率依次成等比数列得到，由得到．代入中及直线的斜率存在得到，且，然后由点到直线的距离公式及两点间距离公式得到面积．最后由基本不等式得到，从而得到面积的取值范围．

试题解析：（1）由题意可设椭圆方程为，则（其中，），且，故．

所以椭圆的方程为．

（2）由题意可知，直线的斜率存在且不为0．故可设直线：，

设，

由，消去得，

则，

且，

故，

因为直线的斜率依次成等比数列，

所以，即．

又，所以，即．

由于直线的斜率存在，且，得，且，

设为点到直线的距离，则，

，

所以，

故面积的取值范围为．