Question

已知函数在点处的切线方程为,且.

(Ⅰ)求函数的极值；

(Ⅱ)若在上恒成立，求正整数的最大值.

Answer

(Ⅰ)，无极大值；(Ⅱ)5.

【解析】

试题

(Ⅰ)由函数的解析式可得，结合导函数与极值的关系可得，无极大值.

(Ⅱ)由题意结合恒成立的条件可得正整数的最大值是5.

试题解析：

(Ⅰ)，那么

由，得，化简得

由得，∴

即，得，∴在单调递减，在单调递增，∴，无极大值.

(Ⅱ)在上恒成立，等价于在上恒成立.

设，则

设，则，

∵，有， ∴在区间上是减函数，

又∵，

∴存在，使得，当时，有，当时，有.∴在区间上递增，在区间上递减，

又∵

∴当时，恒有；当时，恒有；

∴使命题成立的正整数的最大值为.