Question

已知四棱柱中，底面为菱形，，为中点，在平面上的投影为直线与的交点.

（1）求证：；

（2）求二面角的正弦值.

Answer

（1）证明见详解

（2）

【解析】

（1）连接，先证明为平行四边形，因此平面ABCD，继而证明平面即得证.

（2）如图建立空间直角坐标系，计算平面，平面的法向量，利用二面角的向量计算公式，即得解.

（1）

连接，

由于为中点，且，故为中点，

故四边形为平行四边形,

由于四棱柱且

故四边形为平行四边形,

由于底面为菱形，故，且，

由于，故四边形为平行四边形，所以

故：平面ABCD

又平面平面

故平面平面

（2）由（1）BH，BD，两两垂直，以B为原点如图建立空间直角坐标系.

设平面的法向量为，

故，令，故

设平面的法向量为，

故，令，故

由图像得二面角为锐角，故

故