在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数），在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换
得到曲线
，以坐标原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系（
为极径，
为极角）．
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程和曲线的极坐标方程；
（Ⅱ）若射线
与曲线交于点
，射线
与曲线交于点
，求
的值．
已知函数
，且
.
（1）求
的值；
（2）当
时，求证：
.
已知
（1）求
的轨迹
（2）过轨迹上任意一点作圆
的切线
，设直线
的斜率分别是
，试问在三个斜率都存在且不为0的条件下，
是否是定值，请说明理由，并加以证明.
某“双一流”大学专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据，分为专业一等奖学金（奖金额
元）、专业二等奖学金（奖金额
元）及专业三等奖学金（奖金额
元），且专业奖学金每个学生一年最多只能获得一次.图（1）是统计了该校
年
名学生周课外平均学习时间频率分布直方图，图（2）是这名学生在年周课外平均学习时间段获得专业奖学金的频率柱状图.
（Ⅰ）求这名学生中获得专业三等奖学金的人数；
（Ⅱ）若周课外平均学习时间超过
小时称为“努力型”学生，否则称为“非努力型”学生，列
联表并判断是否有
的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与是否是“努力型”学生有关？
（Ⅲ）若以频率作为概率，从该校任选一名学生，记该学生
年获得的专业奖学金额为随机变量
，求随机变量的分布列和期望.
已知四棱柱
中，底面
为菱形，
，
为
中点，
在平面上的投影
为直线
与
的交点.
（1）求证：
；
（2）求二面角
的正弦值.
已知等比数列
的首项
，前
项和为
，设
，且数列
为等比数列.
（1）求，的通项公式；
（2）若数列
的前项和为
，求
的值.
