Question

已知双曲线的两顶点分别为，为双曲线的一个焦点，为虚轴的一个端点，若在线段上（不含端点）存在两点，使得，则双曲线的渐近线斜率的平方的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

Answer

A

【解析】

根据题意可知，若在线段上（不含端点）存在两点，使得，则以为直径的圆与直线相交，利用直线与圆的位置关系和点到直线距离公式求解.

双曲线的两顶点分别为，为双曲线的一个焦点，为虚轴的一个端点，

则可得，

则直线的方程为

若在线段上（不含端点）存在两点，使得，

则以为直径的圆与直线相交，

圆的方程和半径分别为 ，

所以满足圆心到直线的距离小于半径，即，

化简可得 ，

又因为，代入上式化简可得，

将不等式两边同时除以可得，

令，上述不等式可化为

令解得，（舍），

所以的解集为，即，

因为两个交点位于线段上（不含端点），

所以，即，

综上可知，

故选：A.