Question

设和是函数的两个极值点,其中.

（1）求的取值范围;

（2）若为自然对数的底数),求的最大值.

Answer

（1）；（2）

【解析】

试题（1）先求，由已知条件得，方程=0有两个不等的正根，则有，解得，结合韦达定理将变形为关于变量的函数表达式，，进而求值域得的取值范围；（2）将变形为，为了减少参数，将代入得，

，为了便于求值域，利用，继续变形为

，设，通过还原，将表示为变量的函数，进而求值域即可．

（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x），

依题意，方程x2﹣（m+2）x+1＝0有两个不等的正根a、b（其中a＜b），

故，∴m＞0，

又a+b＝m+2，ab＝1，

∴f（a）+f（b）＝lnab（m+2）（a+b）

（m+2）（a+b），

∵m＞0，∴（m+2）2﹣1＜﹣3，

故f（a）+f（b）的取值范围是（﹣∞，﹣3）；

（2）当m2时，（m+2）2≥e2，

设t（t＞1），则（m+2）2＝（a+b）2te2，

∴te⇒（t﹣e）（1）≥0，∴t≥e，

∴f（b）﹣f（a）＝ln（b2﹣a2）﹣（m+2）（b﹣a）

＝ln（b2﹣a2）﹣（b+a）（b﹣a）＝ln（b2﹣a2）

＝ln（）＝ln（）＝lnt（t），

构造函数g（t）＝lnt（t），其中t≥e，

由g′（t）（1）0

∴g（t）在[e，+∞）上单调递减，g（t）≤g（e）＝1，

故f（b）﹣f（a）的最大值为1．