Question

已知函数．

（1）若该函数在处的切线为，求的值；

（2）若该函数在，处取得极值，且，求实数的取值范围．

Answer

（1），．（2）

【解析】

（1）求出导函数，由导数几何意义可得；

（2）由极值点得，研究的性质得，结合．

分类：和．前者由的单调性可得的最小值，后者转化为，则由单调性，这样可得的取值范围，然后 可求得的范围．

最后总结可得结论．

（1）由题知：，故在处的切线方程为：

，

即．

易知：，．

（2）由题知：，为的极值点，

则．

即．

令，．

故在上单调递减，在上单调递增．

则，且．

ⅰ．若，由，故，

在单调递减，故．

ⅱ．若，此时，在单调递增，

故，即，．

此时，．

故实数的取值范围为．