Question

如图所示,在四棱锥中,底面,,,点为棱的中点.用空间向量进行以下证明和计算:

（1）证明:;

（2）若为棱上一点,满足,求二面角的正弦值.

Answer

（1）答案见解析 （2）

【解析】

（1）建立空间直角坐标系，求得，，证明后即可得证；

（2）由题意先求出，再求出平面的一个法向量、平面的法向量，求出之后即可得解.

依题意,以点为原点建立空间直角坐标系(如图),

可得，由为棱的中点,得.

（1）向量，，

故,

所以.

（2）向量,，，，

由点在棱上,设，，则，

由,得，

因此，，

解得,即.

设为平面的法向量,

则 即 ，

不妨令,可得为平面的一个法向量，

取平面的法向量,

则.

所以二面角的正弦值为.