Question

已知函数.

（1）判断函数在上的单调性，并证明；

（2）若恒成立，求的最小值；

（3）记，求集合中正整数的个数；

Answer

（1）单调递增，证明见解析（2）4（3）见解析

【解析】

（1）去掉绝对值符号后由二次函数性质可得，并按定义证明；

（2）直接代入解析式．不等式为二次不等式，由一元二次不等式恒成立可得；

（3）求出和，利用二项式定理确定除以3所得余数，从而可确定怎样计算上正整数个数．

（1）在单调递增

证明：任取

∵，∴，

又，则

则，则单调递增.

（2）由恒成立可得

恒成立，且

∴恒成立，

∴，解得：

所以，的最小值为4.

（3），

则时，区间为，正整数个数为0，

时，∵

为偶数时，；

为奇数时，；

而同奇偶，同奇偶

①为偶数时，正整数个数为：

②为奇数时（）

正整数个数为：.