Question

已知函数.

（1）设是的极值点,求,并讨论的单调性;

（2）若,证明有且仅有两个不同的零点.(参考数据:)

Answer

（1）答案见解析（2）答案见解析

【解析】

（1）根据极值的概念，可得,根据导数在函数单调性中的应用，即可求出结果；

（2）因为，所以,,可知在内存在,使得,在上单调递减,在上单调递增,又根据零点存在定理，可知在,使得,即可证明结果.

（1）因为,是的极值点,

所以,

解得,即,

又因为与在上单调递增,

所以当时,;当时,,

即在上单调递减,在上单调递增.

（2）因为当时,在上单调递增,

因为,,

所以存在,使得,

即在上单调递减,在上单调递增,

另由,,

而,

所存在,使得,

即有且仅有两个不同的零点