Question

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求的普通方程与的直角坐标方程；

（2）若与有且仅有四个公共点，求的取值范围.

Answer

（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）.

【解析】

（1）直接消参可得的普通方程，利用公式，可得的直角坐标方程；

（2）联立与的方程，根据判别式和根与系数的关系，列不等式可得的取值范围.

（1）由，，两边平方得，

故曲线的普通方程为，

又由，，代入得，

当时两边平方，并整理得，

故曲线的直角坐标方程为.

（2）联立与的方程得，

因为，要使与有且仅有四个公共点，

则方程有两个大于0的正根，

所以，解得，即的取值范围为.