Question

在直三棱柱中，且，设其外接球的球心为O，已知三棱锥的体积为2.则球O的表面积的最小值是（）

A. B. C. D.

Answer

B

【解析】

设，球的半径为R，因为底面均为直角三角形，故外接球的球心为两个底面三角形外接圆圆心的连线的中点，如图中O点为三棱柱外接球的球心．根据三棱锥O−ABC的体积为2，可得，接着表示出R，根据基本不等式可得到球的表面积的最小值．

如图，在中，

设，则，取的中点分别为则分别为和的外接圆的圆心，连接，又直三棱柱的外接球的球心为O，则O为的中点，连接OB，则OB为三核柱外接球的半径。设半径为R，因为直三棱柱，所以，所以三棱锥的高为2，即，又三棱锥体积为2，所以.在中，，

所以，当且仅当时取“=”，所以球O的表面积的最小值是，故选B.