Question

已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，证明: （其中e为自然对数的底数）.

Answer

（1）当时， 的递增区间为；

当时，的递增区间为，，递减区间为；

当时，的递增区间为，，递减区间为；

（2）见解析

【解析】

（1）求出函数的导数，通过讨论的取值范围，求出函数的单调区间即可.

（2）问题转化为，令 ，根据函数的单调性证明即可.

（1）由题意，函数的定义域为,

当时，恒成立，故的递增区间为；

当时，在区间，时，时，

所以的递增区间为，，递减区间为；

当时，在区间，时，时，

所以的递增区间为，，递减区间为；

综上所述，当时， 的递增区间为；

当时，的递增区间为，，递减区间为；

当时，的递增区间为，，递减区间为；

（2）当时，由,只需证明.

令 ，.

设，则.

当时，，单调递减;

当时，，单调递增,

∴当时，取得唯一的极小值，也是最小值.

的最小值是 成立.

故成立.