Question

已知函数在定义域上的导函数为，若函数没有零点，且，当在上与在上的单调性相同时，则实数的取值范围是（   ）

A. B.

C. D.

Answer

A

【解析】

由题意可知：f（x）为R上的单调函数，则f（x）﹣2019x为定值，由指数函数的性质可知f（x）为R上的增函数，则g（x）在[，]单调递增，求导，则g（x）≥0恒成立，则ksin（x）min，根据函数的正弦函数的性质即可求得k的取值范围．

【解析】
若方程f（x）＝0无解，

则 f′（x）＞0或f′（x）＜0恒成立，所以f（x）为R上的单调函数，

∀x∈R都有，

则为定值，

设t＝，则f（x）＝t+，易知f（x）为R上的增函数，

∵g（x）＝sinx﹣cosx﹣kx，

∴，

又g（x）与f（x）的单调性相同，

∴g（x）在R上单调递增，则当x∈[，]，g（x）≥0恒成立，

当时，，，

，

此时k≤﹣1，

故选：A．