Question

已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围为________.

Answer

【解析】

由题意知方程有两根，构造函数，可知直线与函数的图象有两个公共点，且两函数的图象均过点，考查直线与曲线相切于点这个临界位置，利用数形结合思想可求得实数的取值范围.

函数的定义域为，且，

由，可得，构造函数，

则直线与函数的图象有两个公共点，

，令，得，列表如下：

极大值

所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，

当时，函数取得最大值，即，且当时，.

易知，直线与函数的图象均过点，如下图所示：

考虑直线与曲线相切于点这个临界位置，此时.

即当时，直线与曲线相切于点，此时，直线与曲线有且只有一个公共点.

由图象可知，当且时，直线与曲线有两个公共点.

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.