Question

已知函数f(x)＝4cos ωx·sin＋a(ω>0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.

(1)求a和ω的值；

(2)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间.

Answer

（1）a＝－1. ω＝1.（2）.

【解析】

（1）先由三角的两角和的正弦公式得到函数表达式，再由最大值为当sin＝1时，f(x)取得最大值2＋1＋a＝3＋a，求出a即可，由图像得到f(x)图象上相邻两个最高点的距离为π，进而得到周期和ω＝1；（2）f(x)=sin,根据由＋2kπ≤≤＋2kπ，解出x的范围得到单调递减区间.

(1)f(x)＝4cosωx·sin＋a

＝4cosωx·＋a

＝2sinωxcos ωx＋2cos2ωx－1＋1＋a

＝sin2ωx＋cos 2ωx＋1＋a

＝2sin＋1＋a.

当sin＝1时，f(x)取得最大值2＋1＋a＝3＋a.

又f(x)最高点的纵坐标为2，∴3＋a＝2，即a＝－1.

又f(x)图象上相邻两个最高点的距离为π，

∴f(x)的最小正周期为T＝π，

∴2ω＝＝2，ω＝1.

(2)由(1)得f(x)＝2sin，

由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，

得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.

令k＝0，得≤x≤.

∴函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间为.