Question

在数列中，，.数列满足，且.

（1）求的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）设数列的前项和为，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer

(1); (2) ；(3) 当n为奇数时；当n为偶数时.

【解析】

（1）由递推公式求出，再根据即可求出的值；（2）由，，结合同角三角函数关系，可化简得，进而确定数列的首项与公比，代入等比数列通项公式即可得解；（3）由（2）中数列的通项公式，求出数列的前n项和，分n为奇数与n为偶数两种情况进行讨论求的取值范围.

（1），，又且，

所以；

（2）因为，且，

所以，

所以，则，

因此数列是首项为，公比为的等比数列，；

（3）由是首项为，公比为的等比数列知，

因为，得，

①当n为奇数时，，因为上式对正奇数恒成立，所以；

②当n为偶数时，，因为上式对正偶数恒成立，所以.

综上所述，当n为奇数时；当n为偶数时.