Question

四棱锥P﹣ABCD中平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，M为AD中点，PA＝PD，AD＝AB＝2CD＝2．

（1）求证：平面PMB⊥平面PAC；

（2）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．

Answer

（1）证明见详解；（2）

【解析】

（1）由直线垂直于，可得线面垂直，再由线面垂直推证面面垂直即可；

（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，通过求解两平面法向量的夹角，从而求得对应二面角的余弦值.

（1）证明：∵PA＝PD，M为AD中点，

∴PM⊥AD，

又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，

∴PM⊥平面ABCD，

又因为平面，

故.

由已知可得，tan，

∴∠ABM＝∠DAC，

又∵，

∴，

∴MB⊥AC，

又平面，

故可得平面，

又平面

∴平面PMB⊥平面PAC，即证.

（2）以M为坐标原点，分别以MD，MP为x轴与z轴，

建立空间直角坐标系，如下图所示：

则A（﹣1,0,0），D（1,0,0），C（1,1,0），P（0,0,2）．

设平面PAC的一个法向量为．

．

由，可得，

令z1＝1，得；

设平面PDC的一个法向量，

由，可得，

取z2＝1，得．

设所求二面角为θ，又为锐二面角，

故.

二面角A﹣PC﹣D的余弦值为.