Question

已知函数

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，求证：.

Answer

(1)见解析;(2)见解析

【解析】

(1)求导后,分>0和 <0两种情况讨论可得;

(2)将所证不等式转化为,然后根据(1)知在 上单调递减,且,由此得到,再将所要证的不等式转化为,最后构造函数,利用导数可证.

(1),

当时, 时,;时,,

所以 在上单调递增,在上单调递减;

当 时, 时, ,时,,

所以 在 上单调递减,在 上单调递增.

(2)要证 ,即证,

又由(1)知, 时,在 上单调递减,且,

所以当 时, ,即 ,即,

所以要证,只需证:,

令 ,则 单调递增,

所以,

所以 在 上单调递增,所以,

而,所以 ,

所以 ,

所以 ,原不等式得证.