Question

已知函数.

（1）若的定义域，值域都是，求的值；

（2）当时，讨论在区间上的值域.

Answer

（1）实数不存在在；（2）当时，值域为：；

当，值域为；

当时，值域为：.

【解析】

（1）根据对数的真数大于零，结合已知和一元二次不等式解集的性质、对数函数的单调性进行求解即可；

（2）根据复合函数的单调性，结合所给的区间，分类讨论进行求解即可.

（1）因为的定义域是，所以在实数集上恒成立，故一元二次方程的根的判别式；

的值域是，说明能取遍所有的正实数，因此一元二次方程的根的判别式，显然这与刚得到矛盾，故不存在这样的实数；

（2）因为，所以，函数的定义域为不等于1的全体实数，故区间的右端点不能等于1，即且，显然函数在上单调递减，在上单调递增.

当时，函数在上是减函数，故函数的最大值为，函数的最小值为：，因此函数的值域为：；

当，函数没有单调性，故函数的最大值为，而，所以函数的值域为；

当时，函数的最大值为：，而，所以函数的值域为：

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