Question

如图，已知平面平行于三棱锥的底面，等边所在的平面与底面垂直，且，设

 

（1）求证：且；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析；（1）

【解析】

（1）由平面∥平面，根据面面平行的性质定理，可得，，再由，得到.由平面平面，根据面面垂直的性质定理可得平面，从而有.

（2）过作于，根据题意有平面，过D作于H，连结AH，由三垂线定理知，所以是二面角的平面角.然后在在中，在中，利用三角形相似求得再在求解.

（1）证明：∵平面∥平面，

∴，，

∵，

，

又∵平面平面，平面平面，

∴平面，

平面，

∴.

（2）过作于，

∵为正三角形，

∴D为中点，

∵平面

∴

又∵，

∴平面.

在等边三角形中，，

过D作于H，连结AH，

由三垂线定理知，

∴是二面角的平面角.

在中，～，，

∴，，

∴.