Question

在三棱锥P﹣ABC中，AB＝1，BC＝2，AC，PC，PA，PB，E是线段BC的中点．

（1）求点C到平面APE的距离d；

（2）求二面角P﹣EA﹣B的余弦值．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量的距离公式得解；（2）求出两个平面的法向量，利用向量公式求解．

∵AB2+BC2＝AC2，PC2+BC2＝PB2，PA2+AB2＝PB2，

∴，

过点P作PO⊥平面ABC，垂足为O，易得OP＝1，且BC⊥OC，BA⊥OA，

∴四边形ABCO为矩形，

（1）以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则C（1，0，0），E（1，1，0），A（0，2，0），P（0，0，1），

，

设平面APE的法向量为，则，

令x＝1，则，

∴；

（2）由（1）知平面APE的法向量为，取平面ABE的一个法向量，

且二面角P﹣EA﹣B为钝角，设其为θ，故．