Question

已知直线与椭圆:交于两点.

（1）若线段的中点为,求直线的方程;

（2）记直线与轴交于点,是否存在点,使得始终为定值?若存在,求点的坐标,并求出该定值;若不存在,请说明理由.

Answer

（1） （2）存在，,定值为.

【解析】

（1）设,代入椭圆得根据点差法,即可求得答案;

（2）设,当直线与轴重合时,有;当直线与轴垂直时,由,解得,结合已知,即可求得答案.

（1）设,

代入椭圆得

两式相减得:,

,

线段的中点为

,,

直线的斜率为:

直线的方程为:,

即:

（2）设,当直线与轴重合时,

有;

当直线与轴垂直时,

由,

解得

存在点,则,,

根据对称性,只考虑直线过点,

设,

设直线的方程为,

由,消掉,

可得:,

根据韦达定理可得:,

,

同理,

,

综上所述,存在点M(,0),使得为定值.