Question

已知四棱锥中，底面ABCD是梯形，且，，，，，，AD的中点为E，则四棱锥外接球的表面积为________.

Answer

【解析】

由已知得，是直角梯形，，，那么DEBC是正方形，由平面，可知平面，可解得PB，可知是等边三角形，外接球的球心到四点距离相等，设在平面的投影为，根据勾股定理可知点H是对角线的交点，在中可得，过作于，再根据，可求出，由外接球面积公式即得。

由题得，，，又，四边形是正方形，，平面，又，平面，所以.则有，即，解得.球心到四点距离相等，设在平面的投影为，那么，，，，设，则有，，，，又，.是正方形，平面上且到四点距离相等的点即为正方形的对称中心，即对角线的交点，则..过作于，平面，，平面，即是点在平面的投影.是等边三角形，，，，与联立解得，则.

故答案为：