Question

已知函数，其中.

（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求与满足的关系；

（2）当时，讨论的单调性；

（3）当时，对任意的，总有成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）①当时，在上单调递增；②当时，在和上单调递增；在上单调递减；当时，函数在和上单调递增；在上单调递减；（3）.

【解析】

（1）求出，由函数在点处的切线与平行，得，从而可得结果；（2）求出，分三种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（3）当时，，对任意的恒成立等价于在恒成立. 设，两次求导，可得，从而可得结果.

（1）由题意，得.

由函数在点处的切线与平行，得.

即.

（2）当时，，

由知.

①当时，，在恒成立，

函数在上单调递增.

②当时，由，解得或；

由，解得.

函数在和上单调递增；在上单调递减.

③当时，，解得或；

由，解得.

函数在和上单调递增；在上单调递减.

（3）当时，，

由，得对任意的恒成立.

，，

在恒成立.

设，则，

令，则，

由，解得.

由，解得；

由，解得.

导函数在区间单增；在区间单减，

，在上单调递减，

，.

故所求实数的取值范围.