Question

已知函数是定义在上的偶函数，且时，.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求函数的值域；

（Ⅲ）设函数的定义域为集合，若，求实数的取值范围．

Answer

(Ⅰ)；(Ⅱ).(Ⅲ){a|a⩾1}.

【解析】

(Ⅰ)由偶函数的性质结合函数的解析式可得的值；

(Ⅱ)结合偶函数的性质求解x⩾0时，f(x)的取值范围即可确定函数的值域；

(Ⅲ)首先求得集合B，然后结合集合的包含关系即可确定实数a的取值范围.

(Ⅰ)∵函数f(x)是定义在R上的偶函数

∴f(−1)=f(1)

又x⩾0时，

∴，即.

(Ⅱ)由函数f(x)是定义在R上的偶函数，

可得函数f(x)的值域A即为x⩾0时，f(x)的取值范围，

当x⩾0时，.

故函数f(x)的值域.

(Ⅲ)，

定义域，

由得(x−a)(x+1)⩽0

∵A⊆B∴B=[−1,a]，且a⩾1，

∴实数a的取值范围是{a|a⩾1}.