Question

已知函数在处取得极小值．

（1）求实数的值；

（2）设，讨论函数的零点个数．

Answer

（1）（2）当时，函数没有零点；当时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点.

【解析】

（1）求出函数的导数结合导数与极值之间的关系得到，求解即可得到结果；（2）求出函数的导数，研究函数的极值和单调性，根据最值的符号，分别讨论在各个区间内的零点个数.

（1）函数的定义域为，

函数在处取得极小值

，得

当时，

则时，；当时，

在上单调递减，在上单调递增

时，函数取得极小值，符合题意

（2）由（1）知，函数，定义域为

则：

令，得；令，得

在上单调递减，在上单调递增

当时，函数取得最小值

当，即时，函数没有零点；

当，即时，函数有一个零点；

当，即时，

存在，使

在上有一个零点

设，则

当时，，则在上单调递减

，即当时，

当时，

取，则

存在，使得

在上有一个零点

在上有两个零点，

综上可得，当时，函数没有零点；当时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点.