Question

已知函数.

（Ⅰ）解不等式；

（Ⅱ）记函数的最小值为，若均为正实数，且，求的最小值.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）先将函数写成分段函数的形式，再由分类讨论的方法，即可得出结果；

（Ⅱ）先由（Ⅰ）得到，再由柯西不等式得到，进而可得出结果.

（Ⅰ）由题意， ，

所以等价于或或.

解得：或，所以不等式的解集为；

（Ⅱ）由(1)可知,当时, 取得最小值,

所以，即，

由柯西不等式得，

整理得，

当且仅当时, 即时等号成立.

所以的最小值为.