Question

设函数，，.

（1）当，时，写出函数的单调区间；

（2）当时，记函数在上的最大值为，在变化时，求的最小值；

（3）若对任意实数，，总存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）单调增区间为，单调减区间为，（2）（3）

【解析】

（1）先根据绝对值定义化简函数解析式，再直接写出单调区间；

（2）先根据二次函数性质确定最大值取法，再比较大小确定，最后根据分段函数性质求最小值；

（3）根据题意先分类讨论求出最大值，再求最大值的最小值，即得实数的取值范围.

（1）当，时，

所以函数的单调增区间为，单调减区间为，

（2）

所以

因此

（3）当时，

令，则

当时根据二次函数图象对称性可得当时最大值取最小值

，因此此时

综上，，从而