Question

如图所示，已知多面体的直观图（图1）和它的三视图（图2），

（1）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）存在，证明见解析，；（2）.

【解析】

（1）根据三视图中的线段长度，判断交点的位置，取靠近的一个三等分点，进行分析证明并求比值；

（2）建立空间直角坐标系，利用平面法向量的余弦值计算出二面角的余弦值.

（1）连接，取靠近点的一个三等分点，连接，

根据三视图可知，所以，

又因为，所以，所以，

又因为平面，平面，

所以平面，故存在满足条件且为靠近点的一个三等分点，

此时；

（2）取为空间直角坐标系的轴，建立空间直角坐标系如下图：

根据三视图可知：，

设平面的一个法向量，平面的一个法向量，

因为， ，，

所以，取，所以，

所以，取，所以，

所以，

根据立体图形可知二面角的平面角为钝角，

所以二面角的余弦值为.