Question

在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，平面，，，，且是的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得与所成的角为？ 若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.

Answer

（Ⅰ）证明见解析． （Ⅱ） ． （Ⅲ）不存在点；理由见解析．

【解析】

（Ⅰ）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，证明，即可证明平面．

（Ⅱ）根据平面的法向量，求得平面的一个法向量，利用向量的夹角公式即可求得二面角的值．

（Ⅲ）假设存在这样的P，设出P点坐标，根据向量的夹角关系求出P的坐标，根据P的位置即可判断出不存在．

（Ⅰ）证明：因为平面，，故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系

由已知可得各点坐标为

，

设平面的一个法向量是

由 得

令，则

又因为 ，

所以，又平面，所以平面

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面的一个法向量是.

因为平面，所以

又因为，所以平面.

故是平面的一个法向量.

所以 ，又二面角为锐角，

故二面角的大小为

（Ⅲ）假设在线段上存在一点，使得与所成的角为

不妨设 ，则

所以

由题意得

化简得

解得

因为，所以无解

即在线段上不存在点，使得与所成的角为