Question

如图，在长方体中，，为的中点，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）如图，连相交于点，连，证明得到答案.

（2）如图，以点为坐标原点，向量方向分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，平面的法向量为，平面的法向量为，计算夹角得到答案.

（1）证明：如图，连相交于点，连，

，

四边形为平行四边形，可得，

平面，平面，平面.

（2）如图，以点为坐标原点，向量方向分别为轴建立如图所示空间直角坐标系.

各点坐标分别为，.

设平面的法向量为，

有，取，有；

设平面的法向量为，

有，取，有；

有，

故平面与平面所成二面角的正弦值为.