Question

在直角梯形PBCD中，∠D＝∠C，BC＝CD＝2，PD＝4，A为PD的中点，如图1，将△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，点E在SD上，如图2．

（1）求证：SA⊥平面ABCD；

（2）若E为SD中点，求D点到面EAC的距离．

Answer

（1）见解析 （2）

【解析】

（1）先证明BC⊥平面SAB，得到BC⊥SA，结合SA⊥AB，即得证；

（2）D点到面EAC的距离即为三棱锥以平面为底面的高，利用等体积法：即得解.

（1）证明：在直角梯形PBCD中，由题意得BA⊥PD，ABCD是正方形，

∴在翻折后的图形中，SA⊥AB，SA＝2，四边形ABCD是边长为2的正方形，

∵SB⊥BC，AB⊥BC，SB∩AB＝B，∴BC⊥平面SAB，

∵SA⊂平面SAB，∴BC⊥SA，

∵SA⊥AB，BC∩AB＝B，∴SA⊥平面ABCD．

（2）D点到面EAC的距离即为三棱锥以平面为底面的高，

利用等体积法：

即：

由于E为SD中点，故，

由于为等腰直角三角形，且E为SD中点，故

由于SA⊥平面ABCD，故SA⊥CD，且AD⊥CD, SA∩AD＝A

∴CD⊥平面SAD，∵SD⊂平面SAD，∴CD⊥SD

故为直角三角形，故，又

故：