Question

已知抛物线C₁的顶点在坐标原点，准线为x＝﹣3，圆C₂：（x﹣3）²+y²＝1，过圆心C₂的直线l与抛物线C₁交于点A，B，l与圆C₂交于点M，N，且|AM|＜|AN|，则|AM||BM|的最小值为_____．

Answer

6

【解析】

设抛物线的标准方程，将点代入抛物线方程，求得抛物线方程，由抛物线的焦点弦性质，求得＝＝，根据抛物线的定义及基本不等式，即可求得答案．

设抛物线的方程：y2＝2px（p＞0），由准线方程x＝﹣3，

可得3，即p＝6，

抛物线的标准方程为y2＝12x，焦点坐标F（3，0），

圆C2：（x﹣3）2+y2＝1的圆心为（3，0），半径为1，

由直线AB过抛物线的焦点，利用极坐标，可设A（ρ1，θ），B（ρ2，π+θ），

由ρ，可得，

|AM||BM|＝|AF|﹣1（|BF|+1）＝|AF||BF|

＝3（）（|AF||BF|）

＝3（）3（2）6，

当且仅当|BF|＝2|AF|＝9时取得等号，

则|AM||BM|的最小值为6．