Question

设函数f（x）＝|3x﹣4|﹣|x+1|．

（1）解不等式f（x）＞5；

（2）若存在实数x满足ax+a≥f（x）成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）{x|x或x＞5}；（2）（﹣∞，﹣2）∪[﹣1，+∞）．

【解析】

（1）将f（x）写为分段函数的形式，然后根据f（x）＞5，分别解不等式即可；

（2）直角坐标系中画出函数y＝f（x）和y＝ax+a的图象，利用数形结合法可得a的取值范围．

（1）f（x）＝|3x﹣4|﹣|x+1|．

∵f（x）＞5，∴或或，

∴x＞5或﹣1≤x或x＜﹣1，∴x或x＞5，

∴不等式的解集为{x|x或x＞5}；

（2）由（1）知，f（x）在上单调递减，

在上单调递增，且．

在直角坐标系中画出函数y＝f（x）和y＝ax+a的图象，如图所示．

由图象可知当直线y＝ax+a过A（，）时，a＝﹣1，

当a＝﹣2时，直线y＝ax+a与直线y＝﹣2x+5平行．

∵存在实数x满足ax+a≥f（x）成立，

∴由图象可知a＜﹣2或a≥﹣1，

∴a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪[﹣1，+∞）．