Question

已知圆与直线相切于，且圆心在直线上.

（1）求圆的方程；

（2）已知直线经过原点，并且被圆截得的弦长为2，求直线的方程.

Answer

（1）（2）或

【解析】

（1）设出圆心坐标，根据题意得出圆心到直线的距离和圆心到点距离相等，求解出圆心坐标，进而求出圆的方程.

（2）分类讨论直线的斜率存在和不存在两种情况，利用被圆截得的弦长为，求出直线的斜率，即可求得答案.

（1）圆的圆心在直线上，设所求圆心坐标为，

又因为圆与直线 相切于，

则由条件可得，化简为，解得，所以圆心为，半径，故所求圆的方程为；

（2）直线经过原点，并且被圆截得的弦长为2，

①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线被圆截得的弦长为2，满足条件；

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

由题意可得，解得，所以直线的方程为.

综上所述，则直线的方程为或.