Question

数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心、重心位于同一直线上，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线，若的顶点，，且的欧拉线的方程为.

（1）求外心（外接圆圆心）的坐标；

（2）求顶点的坐标.

（注：如果三个顶点坐标分别为，，，则重心的坐标是.）

Answer

（1） （2）

【解析】

（1）三角形外心是三边中垂线的交点，由已知条件知顶点，，计算出边上的中垂线，结合三角形的欧拉线，联立方程组求出外心坐标；

（2）由题意知重心也在欧拉线上，设出顶点的坐标，表示出重心坐标代入欧拉线方程，再结合（1）中的外心坐标，外心到三个顶点距离相等，得到方程组求出顶点的坐标.

（1）三角形外心是三边中垂线的交点，

由已知条件知顶点，，则中点坐标为，，

所以边上的中垂线方程为，化简得，

又因为三角形的外心在欧拉线上，联立 ，解得，

所以外心的坐标为；

（2）设，则的重心坐标为，

由题意可知重心在欧拉线上，故满足，化简得，

由（1）得外心的坐标为，

则，即，

整理得，

联立，解得或，

当，时，点与点重合，故舍去，

所以顶点的坐标为.