Question

一般地，对于直线及直线外一点，我们有点到直线的距离公式为：”

（1）证明上述点到直线的距离公式     

（2）设直线，试用上述公式求坐标原点到直线距离的最大值及取最大值时的值.

Answer

（1）见解析 （2）

【解析】

（1）设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都相交，过点P作x轴的平行线，交l于点R（x1，y0）；作y轴的平行线，交l于点S（x0，y2），分别求出. 、由三角形面积公式可知：d•=•即可得出．

（2）利用（1）中点到直线的距离公式，将题意转化为函数的单调性求最值.

【解析】
(1)证明：设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都相交，过点P作x轴的平行线，交l于点R（x1，y0）；作y轴的平行线，交l于点S（x0，y2），

由得．

∴=|x0﹣x1|=，

=|y0﹣y2|=，

=|Ax0+By0+C|

由三角形面积公式可知：d•=•

∴

可证明，当A=0时仍适用．

(2)由直线，由（1）中点到直线距离公式可得原点到直线距离为：

，令，则，

所以，

当时，

当时，

若，则 若，

综上可知：，且当，即时，可取最大值．