Question

如图，四边形ABCD是正方形，PD//MA，MA⊥AD，PM⊥平面CDM，MA=ADPD=1.

（1）求证：平面ABCD⊥平面AMPD；

（2）求三棱锥A﹣CMP的高.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）利用线面垂直的性质定理可得PM⊥CD，根据正方形的性质可得CD⊥AD，再利用线面、面面垂直的垂直的判定定理即可证出.

（2）利用等体法VA﹣CMP=VC﹣AMP，结合三棱锥的体积公式即可求出.

（1）∵PM⊥平面CDM，且CD⊂平面CDM，∴PM⊥CD，

又∵ABCD是正方形，∴CD⊥AD，

在梯形AMPD中，PM与AD相交，

∴CD⊥平面AMPD，

又∵CD⊂平面ABCD，

∴平面ABCD⊥平面AMPD；

（2）设三棱锥A﹣CMP的高为h，

由（1）知CD⊥平面AMPD，且PM⊥平面CDM，

∴PM⊥CM，PM⊥DM，

∵，

∴，，，

∴，

；

∵VA﹣CMP=VC﹣AMP，

∴；

即h1，

解得h；

∴三棱锥A﹣CMP的高为.