Question

如图，在梯形中，，，，平面平面，四边形是菱形，．

（1）求证：；

（2）求多面体被平面分成两部分的体积比．

Answer

（1）证明见解析 （2）1：2

【解析】

（1）根据线段及，可求得，由勾股定理逆定理可证明；由平面与平面垂直的性质可得，连接CF，由菱形性质可得，即可得平面，因而.

（2）由点D向线段AC做垂线，垂足为M，则点M为AC中点,可得平面，分别求得和即可得两部分的体积比.

（1）证明：在等腰梯形中，由，，

可得，

∴，即，

∵平面平面，

∴平面，而平面，

∴．

连接CF，∵四边形是菱形，

∴，

又，

∴平面，

∵平面，

∴；

（2）∵，由点D向线段AC做垂线，垂足为M，则点M为AC中点,如下图所示:

∵平面平面，交线为AC，

∴平面，

∴

∵，

∴面，

∴

∴多面体EF﹣ABCD被平面ACEF分成两部分的体积比为1：2．