Question

设函数为自然对数的底数.

(1)若,且函数在区间内单调递增，求实数的取值范围；

(2)若，试判断函数的零点个数.

Answer

(1)；(2)函数没有零点.

【解析】

试题（1）求出函数的导数，问题转化为在恒成立，记，根据函数的单调性求出的范围即可；（2）求出，记，根据函数的单调性得到在区间递增，从而求出的最小值大于0，判断出函数无零点即可.

试题解析：(1)∵函数在区间内单调递增，

∴在区间内恒成立.

即在区间内恒成立.

记，则恒成立，

∴在区间内单调递减,

∴，∴，即实数的取值范围为.

(2)∵，，

记，则，

知在区间内单调递增.

又∵，，

∴在区间内存在唯一的零点，

即，

于是，.

当时，单调递减；

当时，单调递增.

∴

，

当且仅当时，取等号.

由，得，

∴，即函数没有零点.