Question

已知函数f（x）＝xlnx+2x﹣1．

（1）求f（x）的极值；

（2）若对任意的x＞1，都有f（x）﹣k（x﹣1）＞0（k∈Z）恒成立，求k的最大值．

Answer

（1）极小值为﹣e﹣3﹣1，无极大值；（2）最大值为4．

【解析】

（1）求导判断函数的单调性，由极值定义得解；（2）问题转化为在上恒成立，构造函数，利用导数求函数的范围，进而得到实数的范围，由此得到答案．

（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝lnx+3，

令f′（x）＝0，解得x＝e﹣3，

当x∈（0，e﹣3）时，f′（x）＜0，函数f（x）递减；

当x∈（e﹣3，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）递增；

故f（x）的极小值为f（e﹣3）＝﹣e﹣3﹣1，无极大值；

（2）原式可化为，

令，则，

令h（x）＝x﹣2﹣lnx（x＞1），则，

故h（x）在（1，+∞）上递增，

故存在唯一的x0∈（3，4），使得h（x0）＝0，即lnx0＝x0﹣2，

且当x∈（1，x0）时，h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）递减；

当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）递增；

故g（x）min＝g（x0）＝x0+1，

故k＜x0+1∈（4，5），所以实数k的最大值为4．