Question

已知不等式|x﹣1|+|2x+1|＜3的解集为{x|a＜x＜b}；

（1）求a，b的值；

（2）若正实数x，y满足x+y＝ab+2且不等式（yc²﹣4）x+（8cx﹣1）y≤0对任意的x，y恒成立，求实数c的取值范围；

Answer

（1）a＝﹣1，b＝1；（2）﹣9≤c≤1．

【解析】

（1）分类讨论，即可求得绝对值不等式的解集，比照数据即可求得；

（2）根据（1）中所求，利用均值不等式即可求得范围.

（1）当x≥1时，不等式|x﹣1|+|2x+1|＜3化为（x﹣1）+（2x+1）＜3，

解得x＜1，此时无解；

当x＜1时，不等式|x﹣1|+|2x+1|＜3化为﹣（x﹣1）+（2x+1）＜3，

解得x＜1，此时x＜1；

当时，不等式|x﹣1|+|2x+1|＜3化为﹣（x﹣1）﹣（2x+1）＜3，

解得x＞﹣1，此时；

故解集为{x|﹣1＜x＜1}，

∴a＝﹣1，b＝1；

（2）由（1）有，x+y＝1，

不等式（yc2﹣4）x+（8cx﹣1）y≤0可化为xy（c2+8c）≤4x+y，

即，

又，

当且仅当y＝2x时取等号，

∴c2+8c≤9，

解得﹣9≤c≤1．